Az i megy 1-től végtelenig antinómiája II.

A 0 elemű halmaz számossága 0.
Az 1 elemű halmaz számossága 1.
A 2 elemű halmaz számossága 2.
stb
Az i eleme N halmaz számossága i.

Eddig az egyetértés.
ám ha i=végtelent is megengedjük, akkor rögtön egy sor falba ütközünk. Ám
nem kell megengednünk hiszen:

Állítás: Minden H halmaz bijektíven párbaállítható a természtes számok
valamely részhalmazával.
Bizonyítás:
Indirekt. Tegyük fel H halmazból amennyinek csak lehet van természetes szám
partnere kölcsönösen egyértelműen, de H-nak még van eleme. Ám ez azt
jelentené, hogy minden természetes számot felhasználtunk. Azonban ez
lehetetlen hiszen minden természetes számnál van nagyobb, így sosem
használhatjuk fel mindet. Feltevésünk ellentmondásra vezetett. Q.E.D.

Hunor

Az i megy 1-től végtelenig antinómiája I.

Az benne  az alap antinómia, hogy bár végtelen nem természetes szám, i-t
pedig szinte mindenki úgy tekinti, hogy a természetes számokon megy végig,
az ilyen esetekben, mégis látensen az utolsó lépésnek az i=végtelen is
hozzávevődik.

Például:
Vegyük az egész számok egy alábbi részhalmazát: Legyen adott egy i eleme N.
Minden abs(k)<=i eleme Z-re rendeljük k-hoz a kétszeresét. Világos, hogy az
i=0 esetet leszámítva lesz olyan képelem ami kívül esik a -i..i tartományon,
az i megy 0-tól végtelenig minden esetére.
Egy esetet kívéve. Az n=végtelen esetet. Ekkor is minden elemhez a
kétszerese van hozzárendelve, mégsem igaz hogy a hozzárendeltek halmazának
maximumam a kétszeres azok halmaz maximumának, amihez a bijektív
hozzárendelés történt. Bár minden j>0 egész számra igaz, hogy 2j>j. Így a
maximumok egyezése csak úgy lehet, ha látens módon nem csak i=végtelen
esetet vettük, de végtelent be is csempésztük a természetes számok közé! Így
már j=végtelen=2*végtelen=2j miatt a maximumok megegyezésén nem kell
csodálkozni.

Ma tehát egyetemeinken burkoltan azt oktatják, hogy a végtelen természetes
szám. Mert ha nem az, akkor bizony sehogy sem igaz, hogy ugyanannyi egész
szám van mint páros, vagy
1234575456265645645645695639475674659274657664516576517946591-gyel maradék
nélkül osztható egész szám, vagy prímszám,( vagy ikerprím).

Hunor (http://infinity.tag.hu)

Az i megy 1-től végtelenig antinómiája II.

Ismert tétel, hogy bármely végtelen halmaznak van meszámolhatóan végtelen
valódi részhalhamaza.

0. Vegyük a természetes számok halmazát.
i. Az i-1 lépésben levő halmazainkat osszuk két részre mégpedig úgy, hogy
egy részhalmazba kerüljenek a 2^i-vel osztva azonos maradékot adók.

Az i=végtelen eset behozatala a következő antinómiákat vonja magával:
1. Minden i>0 lépésben a megszámolhatóan végtelen halmazaink számát
megdupláztuk. Így i=végtelen esetén 2^végtelen részhalmazunk van. Ez utóbbi
pedig a megszámlálhattlanul végtelen számosságot jelenti! Azaz ekkor
megszámolhatatlanul végtelen megszámolhatóan végtelen elemű páronként
diszjunkt részhalmazra osztottunk felegy megszámolhatóan végtelen halmazt!
2. Rendeljük i-hez az őt tartalmazó eredményül kapott megszámolhatóan
végtelen részhalmazt. Mivel i pontosan egy részhalmazban szerepel és minden
részhalmazban természetes számok vannak így e hozzárendelés bijekció. Na de
a részhalmazok megszámlálhatatlanul végtelen számosságúak, míg a természetes
számok megszámolhatóan végtelen számosságúak. A bemutatott bijekció alapján
e két számosság megegyezik.
3. Az {1} halmaz megszámolhatóan végtelen számosságú. :-) Hiszen világos,
hogy tetszőleges n>1 eleme N-re létezik olyan minimális k eleme N, hogy
n<2^k, s ekkor legkésőbb a k-adik lépésben az adott n elkerül az 1 mellől az
{n,...} részhalmazba. A végén bizony minden halmaz egy elemű. pedig mindig
megszámolhatóan végtelen halmazt osztottunk két felé egy ide egy ide alapon,
azaz mindig csak megszámolhatóan végtelen halmazt kaphattunk. Ez persze
magyarázza a 2. pontot is.
4. Ugyanez igaz természetesen, tetszőleges {i} halmazra, ahol i eleme N-re.

E gondolatmenetet tréfásan a végletekig vittem a http://www.infinity.tag.hu
"Pi és R kalandjai a végtelen szállodában" című írásomban.

Hunor

 wrote:
> a: létezik x, hogy x > 1
> b: létezik x, hogy x > 2
> c: létezik x, hogy x > 3
> d: létezik x, hogy x > 4
> stb.
>
> állításhalmaz bármely véges részhalmaza igaz, így (a Löwenheim-Skolem
> tétel következtében?) létezik olyan 'kiterjesztése' az egész számok
> halmazának, amiben egyszerre igaz az összes állítás. Ebben a halmazban
> az összes állítást egyszerre kielégítő 'x'-eket jogosan nevezhetjük
> 'végtelen'-eknek."

Íme egy példa egy olyan struktúrára, amiben a fentiek teljesülnek:

http://www.hix.hu/cgi-bin/archive.cgi?id=1249&ujsag=TUDOMANY&szam=1456&ev=2001

> Létezik legalább egy olyan x, ami minden természetes számnál nagyobb.
> Ekkor x maga nem lehet természetes szám, hisz ha másnál nem is, de önmagánál
> biztosan nem nagyobb. Ha x nem természetes szám, akkor mi?

Nem-szokványos (non-standard) természetes szám. Röviden szólva egy olyan
"szám", ami egyrész nem természetes szám, másrészt pedig olyan
tulajdonságai vannak, mint a természetes számoknak.

> Gyors, rossz-ra: Hogy lehet valami nagyobb minden természetes számnál,
> amikor még a természetes számokon belül sincs olyan, amelyik mindegyiknél
> nagyobb lenne?

Úgy lehet, hogy a természetes számok halmaza nem ekvivalens a
nem-szokványos természetes számok halmazával. Ami az egyikben
igaz/hamis, az nem automatikusan igaz/hamis a másikban.

Miközben nincs olyan természetes szám, ami nagyobb lenne minden más
természetes számnál, aközben van olyan nem-szokványos természetes szám,
ami nagyobb minden természetes számnál.

> Hasonlóan rossz-ra: A két eset lényegesen eltérő!

Persze hogy eltérő: a hasonlatok, analógiák mindig eltérőek, különben
bizonyításoknak hívnánk őket.

> A végtelen nem csempészhető be mert antinómiát hoz. Meg kell elégedni azzal,
> hogy minden természetes számnál van nagyobb, így minden véges értéknél van
> "végtelenebb", de hogy egy konkrét "szám", maga végtelen legyen az már
> antinómiát szül. Van a tarsolyomban belőle bőven.

Antinómiának hívod, ha valamit nem értesz?

z2